Дано:
Площадь параллелограмма S = 12√3,
Длина стороны AB = 3,
Угол ∠A = 60°.
Найти:
Длину диагонали BD.
Решение:
1. Площадь параллелограмма можно вычислить по формуле:
S = AB * h,
где h - высота, опущенная из точки C на сторону AB. Также площадь можно выразить через сторону AB и угол A:
S = AB * AD * sin(∠A).
2. Подставим известные значения:
12√3 = 3 * AD * sin(60°).
3. Значение sin(60°) равно √3 / 2:
12√3 = 3 * AD * (√3 / 2).
4. Упрощаем уравнение:
12√3 = (3√3 / 2) * AD.
5. Умножим обе стороны на 2:
24√3 = 3√3 * AD.
6. Разделим обе стороны на 3√3:
AD = 24 / 3 = 8.
7. Теперь найдем длину диагонали BD. Используем теорему косинусов в треугольнике ABD:
BD² = AB² + AD² - 2 * AB * AD * cos(∠A).
8. Подставим известные значения:
BD² = 3² + 8² - 2 * 3 * 8 * cos(60°).
9. Значение cos(60°) равно 1/2:
BD² = 9 + 64 - 2 * 3 * 8 * (1/2).
10. Упрощаем:
BD² = 9 + 64 - 24,
BD² = 49.
11. Найдем BD:
BD = √49 = 7.
Ответ:
Длина диагонали BD равна 7.