Дано:
Основание LM = 2√6 см,
Боковая сторона MN = 12 см,
∠MKN = 60°,
∠MNK = 45°.
Найти:
Диагональ KM и сторону KL.
Решение:
Сначала найдем длину стороны KN, используя закон синусов в треугольнике MKN:
Синус угла K:
sin(MKN) = MN / MK.
Сначала найдем сторону MK. Угол MNK равен 45°, следовательно, можем выразить сторону KN через MN и угол:
sin(45°) = KN / MN.
Теперь найдем KN:
KN = MN * sin(45°) = 12 * (√2 / 2) = 12√2 / 2 = 6√2 см.
Теперь применим закон косинусов для треугольника MKN, чтобы найти KM:
KM² = MN² + KN² - 2 * MN * KN * cos(∠MKN).
Подставим значения:
KM² = 12² + (6√2)² - 2 * 12 * 6√2 * cos(60°).
Сосчитаем:
KM² = 144 + 72 - 2 * 12 * 6√2 * 0.5.
Упростим:
KM² = 144 + 72 - 12 * 6√2.
KM² = 216 - 72√2.
Теперь найдем длину KM:
KM = √(216 - 72√2).
Теперь найдем сторону KL. В треугольнике KNL можем также использовать закон косинусов:
KL² = KN² + LN² - 2 * KN * LN * cos(∠KNL).
Для этого нужно найти LN. Используем ∠KLM, который равен 180° - (∠MKN + ∠MNK) = 180° - (60° + 45°) = 75°.
Теперь найдем LN, используя:
sin(∠KLM) = LM / LN.
LN = LM / sin(75°) = (2√6) / (√6/2) = 4 см.
Теперь подставим:
KL² = (6√2)² + 4² - 2 * (6√2) * 4 * cos(75°).
Теперь посчитаем:
KL² = 72 + 16 - 48 * cos(75°).
Теперь подставим cos(75°):
cos(75°) = √6/4 - √2/4.
После расчетов:
KL = √(88 - 48 * (√6/4 - √2/4)).
Ответ:
Диагональ KM = √(216 - 72√2) см,
Сторона KL = √(88 - 48 * (√6/4 - √2/4)) см.