Дано:
АВ = 8 см,
АЕ = 22 см.
Найти:
Периметр трапеции АВСЕ.
Решение:
1. Обозначим длины оснований:
АВ = a = 8 см,
СЕ = b (нужно найти).
2. В равнобедренной трапеции проведенные биссектрисы углов А и Е пересекаются на основании ВС. Обозначим длину основания ВС = c.
3. Известно, что в равнобедренной трапеции отношение оснований и длина биссектрисы связаны с длиной основания, поэтому можно использовать формулу для биссектрисы:
l = sqrt(AB * AE * (1 - (c^2 / (a + b)^2))) / (a + b)
где l - длина биссектрисы.
4. Поскольку трапеция равнобедренная, то длины боковых сторон равны. Обозначим их как d.
5. Используем теорему о биссектрисах:
a / b = d / d (так как боковые стороны равны). Это значит, что:
b = (a * d) / d = (a * a) / b.
6. Поскольку у нас есть только одно основание (АВ) и высота (АЕ), можем найти b.
7. Сначала найдем высоту h трапеции по формуле для высоты равнобедренной трапеции:
h = sqrt(d^2 - ((b - a)/2)^2).
8. Теперь, используя равенство оснований:
b = (AE * a) / (AB) = (22 * 8) / 8 = 22 см.
9. Периметр P равнобедренной трапеции вычисляется по формуле:
P = a + b + 2d.
10. Сначала найдем d. Для этого используем формулу для боковой стороны d:
d = sqrt(h^2 + ((b - a)/2)^2).
11. Высота h равна 22 см, значит:
d = sqrt(22^2 + ((22 - 8)/2)^2)
= sqrt(484 + 49)
= sqrt(533).
12. Теперь можем подставить все значения в формулу для периметра:
P = 8 + 22 + 2 * sqrt(533).
Ответ:
Периметр трапеции равен 8 + 22 + 2 * sqrt(533) см.