Дано:
Большая сторона параллелограмма a = 8 м.
Углы, образуемые диагональю с сторонами, составляют 30° и 45°.
Найти:
Меньшую сторону параллелограмма b.
Решение:
1. Обозначим диагональ как d. Она образует угол 30° с большей стороной (a) и угол 45° с меньшей стороной (b).
2. Известно, что в параллелограмме диагонали делят его на два треугольника. Применим закон косинусов для нахождения длины диагонали.
3. Для нахождения диагонали d, воспользуемся углом 30°:
d^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(30°).
4. Так как у нас есть угол 30°, cos(30°) = √3/2:
d^2 = 8^2 + b^2 - 2 * 8 * b * (√3/2).
5. Упрощаем:
d^2 = 64 + b^2 - 8√3 * b.
6. Теперь применим закон косинусов для угла 45°:
d^2 = b^2 + a^2 - 2ab * cos(45°).
7. Зная, что cos(45°) = √2/2:
d^2 = b^2 + 8^2 - 2 * 8 * b * (√2/2).
8. Упрощаем:
d^2 = b^2 + 64 - 8√2 * b.
9. Теперь у нас есть два выражения для d^2:
64 + b^2 - 8√3 * b = b^2 + 64 - 8√2 * b.
10. Упрощаем уравнение, исключая b^2 и 64:
-8√3 * b = -8√2 * b.
11. Делим обе стороны на -8:
√3 * b = √2 * b.
12. Если b не равно 0, можем сократить:
√3 = √2, что невозможно.
13. Это означает, что нужно использовать отношение между сторонами. Параллелограмм имеет фиксированное соотношение между сторонами и углами, так что:
b = a * (sin(30°) / sin(45°)).
14. Подставим значения:
b = 8 * (0.5 / (√2/2)) = 8 * (0.5 * 2/√2) = 8 * √2 / 2 = 4√2.
Ответ:
Меньшая сторона параллелограмма равна 4√2 м.