дано:
AB = 9 м
BC = 17 м
AC = 10 м
найти:
площадь треугольника BMD.
решение:
1. Сначала найдем площадь треугольника ABC с помощью формулы Герона. Для этого сначала вычислим полупериметр p треугольника:
p = (AB + BC + AC) / 2
= (9 + 17 + 10) / 2
= 36 / 2
= 18 м.
2. Теперь применим формулу Герона для нахождения площади S треугольника ABC:
S = √(p * (p - AB) * (p - BC) * (p - AC)).
Подставим известные значения:
S = √(18 * (18 - 9) * (18 - 17) * (18 - 10))
= √(18 * 9 * 1 * 8)
= √(144)
= 12 м².
3. Теперь найдем длину медианы BM в треугольнике ABC, используя формулу для длины медианы:
BM = 0.5 * √(2AB² + 2BC² - AC²).
Подставим значения:
BM = 0.5 * √(2 * 9² + 2 * 17² - 10²)
= 0.5 * √(2 * 81 + 2 * 289 - 100)
= 0.5 * √(162 + 578 - 100)
= 0.5 * √(640)
= 0.5 * 8√10
= 4√10 м.
4. Теперь, чтобы найти площадь треугольника BMD, воспользуемся тем фактом, что биссектрисы и медианы делят треугольник на части. Площадь треугольника BMD будет равна половине площади ABC, умноженной на отношение отрезков, которые образуют медиана и биссектрису.
Поскольку BD является биссектрисой угла B, то мы можем использовать отношение отрезков:
BD/AD = AB/AC,
где AD - это отрезок, на который делит AC биссектрису BD, а BC - длина другой стороны.
5. Поскольку AE = 10, находим AD:
AD = (AB * AC) / (AB + AC) = (9 * 10) / (9 + 10) = 90 / 19 ≈ 4.74 м.
6. Таким образом, площадь треугольника BMD составит:
S(BMD) = S(ABC) * (BM / AM)
где AM = (1/2 * AC) = (1/2 * 10) = 5 м.
Итак:
S(BMD) = 12 * (BM / AM) = 12 * (4√10 / 5).
7. Вычисляем:
S(BMD) = 12 * (4√10 / 5)
= (48√10) / 5
≈ 21.44 м².
ответ:
площадь треугольника BMD составляет примерно 21.44 м².