дано:
основание треугольника ABC (AC) = 16,
боковая сторона AB = BC = 10.
найти:
площадь треугольника AOB.
решение:
1. Сначала найдем высоту h равнобедренного треугольника ABC, проведённую из вершины A на основание BC. Обозначим точку M как точку касания окружности с боковой стороной AB.
2. Проведем перпендикуляр от точки A к основанию BC. Поскольку треугольник равнобедренный, этот перпендикуляр делит основание пополам. Таким образом, длина отрезка BM будет равна 8 (половина основания).
3. В треугольнике ABM применим теорему Пифагора:
AB^2 = AM^2 + BM^2,
где AB = 10, BM = 8, AM - это высота h.
Подставим известные значения:
10^2 = h^2 + 8^2,
100 = h^2 + 64,
h^2 = 100 - 64 = 36,
h = sqrt(36) = 6.
4. Теперь мы знаем, что высота h равнобедренного треугольника ABC равна 6.
5. Рассмотрим треугольник AOB. Поскольку AO является высотой и одновременно радиусом вписанной окружности, необходимо найти радиус r. Радиус r можно написать в виде:
r = S / p,
где S – площадь треугольника ABC, а p – полупериметр.
6. Для начала найдем полупериметр p треугольника ABC:
p = (AB + BC + AC) / 2 = (10 + 10 + 16) / 2 = 18.
7. Далее найдем площадь треугольника ABC:
S = (1/2) * AC * h = (1/2) * 16 * 6 = 48.
8. Теперь подставим значения в формулу для радиуса:
r = S / p = 48 / 18 = 16 / 6 = 8 / 3.
9. Теперь найдем площадь треугольника AOB. Площадь треугольника AOB можно выразить через основание и высоту:
S_AOB = (1/2) * OB * AO,
где OB = 8 (это половина основания треугольника) и AO = 8 / 3 (радиус вписанной окружности).
Таким образом:
S_AOB = (1/2) * 8 * (8 / 3) = 32 / 3.
ответ:
площадь треугольника AOB составляет 32/3 м².