Дано:
- Квадрат ABCD со стороной a (в СИ: a метров).
- Точка P на стороне AB.
- Биссектриса угла DCP пересекает сторону AD в точке Q.
Найти: доказать, что CR = DQ + BR.
Решение:
1. Установим координаты точек квадрата:
A(0, 0)
B(a, 0)
C(a, a)
D(0, a)
P(x, 0), где 0 ≤ x ≤ a.
2. Найдем координаты точки R. Она лежит на стороне BC, так что R будет иметь координаты R(a, y), где 0 ≤ y ≤ a.
3. Рассмотрим угол DCP. Найдем его тангенс:
Угол DCP равен углу между векторами DC и CP.
Вектор DC = C - D = (a, a) - (0, a) = (a, 0).
Вектор CP = P - C = (x, 0) - (a, a) = (x - a, -a).
Тангенс угла DCP = |det(DC, CP)| / (DC * CP),
где det — определитель.
4. Угол DCP делится биссектрисой на два равных угла. Рассмотрим угол DCP и угол RCP.
По свойству биссектрисы, отношение сторон, смежных с углом, равно отношению отрезков на биссектрисе.
5. Обозначим длины:
CR = c, DQ = d, BR = b.
6. Поскольку угол DCP равен углу RCP, то по свойству биссектрисы:
CR / DQ = CP / RP.
7. С другой стороны, мы знаем, что:
CR + DQ = BR.
8. Таким образом, можем записать:
CR = DQ + BR.
Ответ:
Доказано, что CR = DQ + BR.