Дано: Медиана треугольника совпадает с его биссектрисой.
Найти: Доказать, что треугольник равнобедренный.
Решение:
Пусть ABC - исходный треугольник, AM - медиана, AD - биссектриса.
Так как медиана делит сторону пропорционально двум другим сторонам, то \( \frac{AB}{BM} = \frac{AC}{CM} \) (1).
Так как биссектриса делит угол на две равные части, то \( \frac{AB}{BD} = \frac{AC}{CD} \) (2).
Из условия следует, что BM = MD. Обозначим их как х.
Из (1): \( \frac{AB}{x} = \frac{AC}{2x} \), откуда AB = 2AC (3).
Из (2): \( \frac{AB}{x} = \frac{AC}{x} \), откуда AB = AC (4).
Из (3) и (4) следует, что 2AC = AC, а значит AC = 0.
Таким образом, треугольник равнобедренный.
Ответ: Треугольник равнобедренный.