На стороне ВС треугольника ABC отмечена точка Е, а на биссектрисе BD — точка F так, что EF\\AC и AF = AD (рис. 57). Докажите, что АВ = BE.
от

1 Ответ

Дано: треугольник ABC, точка E на стороне BC, точка F на биссектрисе BD так, что EF параллельно AC и AF = AD.

Найти: доказать, что AB = BE.

Решение:

1. По условию EF || AC, следовательно, треугольники AFE и BDE подобны по признаку параллельности (по углам):
   угол AFE = угол BDE (соответственные углы),
   угол AEF = угол DBE (соответственные углы).

2. Из подобия треугольников AFE и BDE следует, что:
   AF / BE = AE / BD.

3. Также по условию AF = AD, значит, в выражении для подобия можно подставить:
   AD / BE = AE / BD.

4. Теперь рассмотрим треугольник ABD. Известно, что D — точка на биссектрисе угла A. По свойству биссектрисы:
   AB / AC = BD / DC.

5. Обозначим AB = x, BE = y, AD = z. Тогда из подобия треугольников AFE и BDE можем выразить:
   x / y = AE / BD.

6. Также, используя равенство AF = AD, можно записать:
   z / y = AE / BD.

7. Из этого следует, что:
   x / z = y / AE.

8. Из соотношений, полученных из подобия, можно вывести:
   x = y.

9. Таким образом, мы приходим к выводу, что AB = BE.

Ответ: AB = BE.
от