Дано:
Куб ABCDA1C1D1, ребро которого равно "а".
Задача:
а) Докажите, что A1B1 ⊥ (AA1D1D).
б) Докажите, что треугольник A1B1D прямоугольный.
в) Найдите длины отрезков A1D и B1D.
г) Найдите тангенс угла B1DA1.
Решение:
а) Докажем, что A1B1 ⊥ (AA1D1D):
1. Рассмотрим куб ABCDA1C1D1 с вершинами:
- A(0, 0, 0),
- B(a, 0, 0),
- C(a, a, 0),
- D(0, a, 0),
- A1(0, 0, a),
- B1(a, 0, a),
- C1(a, a, a),
- D1(0, a, a).
2. Вектор A1B1:
A1B1 = (a, 0, a) - (0, 0, a) = (a, 0, 0).
3. Вектор (AA1D1D):
- Вектор AA1: A1 - A = (0, 0, a) - (0, 0, 0) = (0, 0, a).
- Вектор AD: D - A = (0, a, 0) - (0, 0, 0) = (0, a, 0).
- Вектор DD1: D1 - D = (0, a, a) - (0, a, 0) = (0, 0, a).
4. Мы видим, что вектор A1B1 параллелен оси X, а вектор (AA1D1D) лежит в плоскости, перпендикулярной оси X (он не имеет компоненты по оси X).
Так как вектор A1B1 и все векторы, лежащие в плоскости (AA1D1D), не имеют общей компоненты по оси X, это значит, что вектор A1B1 перпендикулярен плоскости (AA1D1D), то есть A1B1 ⊥ (AA1D1D).
б) Докажем, что треугольник A1B1D прямоугольный:
1. Векторы для сторон треугольника A1B1D:
- Вектор A1B1: A1B1 = (a, 0, a) - (0, 0, a) = (a, 0, 0).
- Вектор B1D: B1D = (0, a, a) - (a, 0, a) = (-a, a, 0).
- Вектор A1D: A1D = (0, a, a) - (0, 0, a) = (0, a, 0).
2. Для проверки, что треугольник прямоугольный, нужно вычислить скалярное произведение двух сторон. Проверим скалярное произведение векторов A1B1 и A1D:
A1B1 • A1D = (a, 0, 0) • (0, a, 0) = a * 0 + 0 * a + 0 * 0 = 0.
Так как скалярное произведение равно нулю, то векторы A1B1 и A1D перпендикулярны, значит, треугольник A1B1D прямоугольный в вершине A1.
в) Найдем длины отрезков A1D и B1D:
1. Длина отрезка A1D:
Длина отрезка A1D = √((0 - 0)² + (a - 0)² + (a - a)²) = √(a²) = a.
2. Длина отрезка B1D:
Длина отрезка B1D = √((a - 0)² + (0 - a)² + (a - a)²) = √(a² + a²) = √(2a²) = a√2.
г) Найдем тангенс угла B1DA1:
1. Для нахождения угла между векторами B1D и A1D используем формулу для косинуса угла между векторами:
cos(θ) = (B1D • A1D) / (|B1D| * |A1D|).
2. Сначала находим скалярное произведение B1D и A1D:
B1D • A1D = (-a, a, 0) • (0, a, 0) = (-a * 0) + (a * a) + (0 * 0) = a².
3. Теперь подставляем в формулу для косинуса угла:
cos(θ) = a² / (a√2 * a) = a² / (a²√2) = 1 / √2.
4. Тангенс угла θ можно найти через синус и косинус:
tan(θ) = √(1 - cos²(θ)) / cos(θ) = √(1 - 1/2) / (1/√2) = √(1/2) / (1/√2) = 1.
Ответ:
а) A1B1 ⊥ (AA1D1D).
б) Треугольник A1B1D прямоугольный.
в) Длины отрезков: A1D = a, B1D = a√2.
г) Тангенс угла B1DA1 равен 1.