Дано:
a = 5√2 см - ребро куба
Найти:
h - расстояние между плоскостями АА1С1 и МКР
Решение:
Проведем плоскость, параллельную плоскости АА1С1, через точку М.
В пересечении этой плоскости с кубом получится квадрат МNKP, где N - середина А1В1, Р - середина D1C1, К - середина DC.
Высота h - это расстояние от точки М до плоскости АА1С1.
Треугольник АМN - прямоугольный, АМ = AN = a/2.
По теореме Пифагора: MN = √(AM^2 + AN^2) = √((a/2)^2 + (a/2)^2) = a/√2.
Треугольник МНР - прямоугольный, MN = a/√2, NP = a.
По теореме Пифагора: MR = √(MN^2 + NP^2) = √((a/√2)^2 + a^2) = √(3a^2/2) = a√(3/2).
Треугольник AMR - прямоугольный, AM = a/2, MR = a√(3/2).
По теореме Пифагора: AR = √(AM^2 + MR^2) = √((a/2)^2 + (a√(3/2))^2) = a√2.
Треугольник AAR1 - прямоугольный, AR = a√2, AA1 = a.
По теореме Пифагора: AR1 = √(AR^2 + AA1^2) = √((a√2)^2 + a^2) = a√3.
Треугольник MRA1 - прямоугольный, MR = a√(3/2), AR1 = a√3.
По теореме Пифагора: MA1 = √(MR^2 + AR1^2) = √((a√(3/2))^2 + (a√3)^2) = a√(9/2) = 3a/√2.
Треугольник АМH - прямоугольный, AH = a, MA1 = 3a/√2.
По теореме Пифагора: h = MH = √(MA1^2 - AH^2) = √((3a/√2)^2 - a^2) = √(5a^2/2) = a√(5/2) = 5√2 см * √(5/2) = 5√5 см.
Ответ:
h = 5√5 см.