Дано:
Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды a = 6 м, высота пирамиды h = 4 м.
Найти:
а) Косинус угла между боковым ребром и плоскостью основания;
б) Косинус угла между боковой гранью и плоскостью основания;
в) Косинус угла между двумя соседними боковыми гранями;
г) Косинус угла между двумя противоположными боковыми гранями.
Решение:
а) Косинус угла между боковым ребром и плоскостью основания
Для начала найдем длину бокового ребра пирамиды. Боковое ребро является гипотенузой прямоугольного треугольника, где один катет — это высота пирамиды, а второй катет — это половина стороны основания.
Полупериметр основания:
l = a / 2 = 6 / 2 = 3 м.
Теперь находим длину бокового ребра с помощью теоремы Пифагора:
r = √(l² + h²) = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 м.
Теперь можем найти косинус угла между боковым ребром и плоскостью основания. Этот угол равен углу между боковым ребром и перпендикулярной прямой, проведенной от вершины пирамиды к середине основания. Косинус этого угла можно найти по формуле:
cos(α) = h / r.
Подставим значения:
cos(α) = 4 / 5 = 0.8.
Ответ: Косинус угла между боковым ребром и плоскостью основания равен 0.8.
б) Косинус угла между боковой гранью и плоскостью основания
Косинус угла между боковой гранью и плоскостью основания равен синусу угла между боковым ребром и осью пирамиды, так как боковая грань и плоскость основания перпендикулярны. Для нахождения этого угла также используется треугольник с гипотенузой равной длине бокового ребра (r) и катетом, равным высоте пирамиды (h). В данном случае, угол между боковой гранью и плоскостью основания — это угол наклона бокового ребра к оси пирамиды.
cos(β) = h / r = 4 / 5 = 0.8.
Ответ: Косинус угла между боковой гранью и плоскостью основания равен 0.8.
в) Косинус угла между двумя соседними боковыми гранями
Для нахождения угла между двумя соседними боковыми гранями рассмотрим два вектора, которые образуют эти грани. Векторы направлены от вершины пирамиды к двум соседним вершинам основания. Эти векторы одинаковой длины (длина бокового ребра), и угол между ними можно найти через скалярное произведение.
Расстояние между двумя соседними вершинами основания равно стороне основания (a = 6 м). Площадь треугольника, образованного двумя соседними боковыми гранями, можно вычислить через площадь по формуле для площади треугольника с известными сторонами.
Для нахождения угла между векторами используем следующую формулу для скалярного произведения:
cos(γ) = (r² + r² - a²) / (2r²) = (2r² - a²) / (2r²).
Подставим значения:
cos(γ) = (2 * 5² - 6²) / (2 * 5²) = (2 * 25 - 36) / (2 * 25) = (50 - 36) / 50 = 14 / 50 = 0.28.
Ответ: Косинус угла между двумя соседними боковыми гранями равен 0.28.
г) Косинус угла между двумя противоположными боковыми гранями
Для нахождения угла между противоположными боковыми гранями используем похожий подход, но с учетом того, что противоположные боковые грани образуют угол через середину пирамиды. Этот угол можно рассматривать как угол между двумя векторами, направленными вдоль боковых ребер пирамиды.
Так как векторы противоположных боковых граней симметричны относительно оси пирамиды, угол между ними будет равен удвоенному углу между одной боковой гранью и осью пирамиды. Косинус угла между противоположными боковыми гранями можно найти через косинус угла между одной боковой гранью и осью:
cos(δ) = cos(2 * β).
Для этого используем формулу удвоенного угла:
cos(2 * β) = 2 * cos²(β) - 1.
Подставим значения:
cos(2 * β) = 2 * (0.8)² - 1 = 2 * 0.64 - 1 = 1.28 - 1 = 0.28.
Ответ: Косинус угла между двумя противоположными боковыми гранями равен 0.28.