Дано:
- Сторона основания правильной треугольной пирамиды DABC равна 3√3 ем.
- Угол между боковым ребром DA и плоскостью основания равен 60°.
Найти:
Сумму длин отрезков |DA| + |CB| + |AC|.
Решение:
1. Найдем длину бокового ребра DA. Обозначим длину бокового ребра как h.
Из условия задачи угол между боковым ребром DA и плоскостью основания равен 60°. Это означает, что в треугольнике DAB, где D - верхняя точка пирамиды, а A и B - точки основания, высота от D до плоскости ABD (или ABC) составляет:
h = |DA| * cos(60°).
Поскольку cos(60°) = 0.5, получаем:
h = |DA| * 0.5.
Таким образом, |DA| = h / 0.5 = 2h.
2. Теперь найдем длину стороны основания. Основание является правильным треугольником с длиной стороны 3√3. В правильном треугольнике высота h может быть найдена по формуле:
h_основание = (√3 / 2) * a,
где a — длина стороны треугольника.
Подставим значение a = 3√3:
h_основание = (√3 / 2) * (3√3) = (3 * 3) / 2 = 9 / 2 = 4.5 ем.
3. Величина h (высота пирамиды) можно найти, используя найденное значение |DA|:
|DA| = h / 0.5, значит, h = |DA| * 0.5.
Если мы примем |DA| = х, то подставив ранее выраженную величину, у нас выйдет:
2h = х => h = х / 2.
4. Теперь можем найти длины отрезков CB и AC.
Длину отрезка CB находим как длину стороны основания:
|CB| = 3√3 ем.
Длину отрезка AC также считаем как длину стороны основания:
|AC| = 3√3 ем.
5. Теперь подставляем все известные значения в искомую сумму:
|DA| + |CB| + |AC| = |DA| + 3√3 + 3√3 = |DA| + 6√3.
Для нахождения |DA| используем h = |DA| * 0.5. Так как h = 4.5, получаем:
4.5 = |DA| * 0.5 => |DA| = 4.5 / 0.5 = 9 ем.
Теперь вычислим итоговую сумму:
|DA| + |CB| + |AC| = 9 + 6√3.
Ответ:
|DA| + |CB| + |AC| = 9 + 6√3 ем.