Дано:
- высота цилиндра h = 8 м,
- радиус основания цилиндра r = 5 дм = 0,5 м.
Найти: расстояние от оси цилиндра до плоскости, пересекающей цилиндр, если это сечение — квадрат.
Решение:
1. При пересечении цилиндра плоскостью, параллельной оси, образуется сечение, которое имеет форму прямоугольника, если плоскость проходит через ось, или квадрат, если она проходит на некотором расстоянии от оси цилиндра.
2. Пусть расстояние от оси до плоскости сечения равно x. Это означает, что на плоскости сечения будет пересечен круг с радиусом r = 0,5 м, и квадрат, вписанный в этот круг.
3. Радиус окружности, в которой вписан квадрат, равен половине диагонали квадрата. Диагональ квадрата можно выразить через сторону квадрата, например, через a. Так как квадрат вписан в круг, его диагональ равна диаметру этого круга.
4. Диагональ квадрата (d) равна 2r, а по теореме Пифагора для квадрата её диагональ можно выразить как:
d = a√2.
5. Тогда получаем, что:
2r = a√2.
6. Подставляем значение радиуса:
2 * 0,5 = a√2,
1 = a√2.
7. Отсюда находим сторону квадрата:
a = 1/√2 ≈ 0,707 м.
8. Теперь, так как сечение параллельно оси цилиндра, расстояние от оси до плоскости сечения, равное x, будет связано с длиной стороны квадрата через прямоугольный треугольник, образованный радиусом основания, расстоянием от оси и стороной квадрата. Это можно выразить как:
r² = x² + (a/2)².
9. Подставляем известные значения:
0,5² = x² + (0,707/2)²,
0,25 = x² + 0,25/4,
0,25 = x² + 0,0625.
10. Решаем относительно x²:
x² = 0,25 - 0,0625 = 0,1875.
11. Извлекаем корень из обеих сторон:
x = √0,1875 ≈ 0,433 м.
Ответ: расстояние от оси до плоскости сечения равно примерно 0,433 м.