Дано:
- Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 10 м.
- Радиус вписанной окружности в основание пирамиды равен 4 м.
Найти:
а) длину стороны основания,
б) высоту пирамиды,
в) длину апофемы,
г) синус угла наклона бокового ребра к плоскости основания,
д) тангенс угла наклона боковой грани к плоскости основания.
Решение:
а) Длина стороны основания
Площадь основания правильной треугольной пирамиды можно выразить через радиус вписанной окружности. Для правильного треугольника, радиус вписанной окружности r связан с длиной стороны основания a следующим образом:
r = (a * √3) / 6.
Отсюда:
a = (6 * r) / √3 = (6 * 4) / √3 = 24 / √3 = 8√3 ≈ 13.856 м.
Ответ: длина стороны основания примерно 13.856 м.
б) Высота пирамиды
Высоту пирамиды можно найти, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, в котором гипотенуза — это боковое ребро пирамиды, а один катет — это высота пирамиды, второй катет — это расстояние от центра основания до середины стороны основания.
Для этого расстояние от центра основания до середины стороны основания будет равно:
d = a * √3 / 6 = (13.856 * √3) / 6 ≈ 8 м.
Теперь, зная боковое ребро и расстояние от вершины пирамиды до середины основания, применим теорему Пифагора для нахождения высоты h пирамиды:
h = √(боковое ребро² - d²) = √(10² - 8²) = √(100 - 64) = √36 = 6 м.
Ответ: высота пирамиды равна 6 м.
в) Длина апофемы
Апофема правильной треугольной пирамиды — это расстояние от вершины пирамиды до середины стороны основания, то есть это прямой отрезок, соединяющий вершину с серединой одной из сторон основания.
Для правильного треугольника апофема (p) связана с длиной стороны основания a следующим образом:
p = a * √3 / 6 = (13.856 * √3) / 6 ≈ 8 м.
Ответ: длина апофемы равна 8 м.
г) Синус угла наклона бокового ребра к плоскости основания
Угол наклона бокового ребра к плоскости основания можно найти, используя синус этого угла. Синус угла наклона — это отношение высоты пирамиды h к длине бокового ребра L:
sin(α) = h / L = 6 / 10 = 0.6.
Ответ: синус угла наклона равен 0.6.
д) Тангенс угла наклона боковой грани к плоскости основания
Тангенс угла наклона боковой грани к плоскости основания можно найти как отношение высоты пирамиды h к половине длины основания. Половина длины основания равна:
a / 2 = 13.856 / 2 ≈ 6.928 м.
Тангенс угла наклона (tg(β)) будет равен:
tg(β) = h / (a / 2) = 6 / 6.928 ≈ 0.866.
Ответ: тангенс угла наклона равен 0.866.