Дано:
- В основании прямой призмы лежит треугольник ABC, где AB = 4 м, AC = 6 м, угол ∠A = 60°.
- Сечение призмы А1ВС наклонено к основанию под углом α, где tg(α) = √7.
Найти: объем призмы.
Решение:
1. Найдем площадь основания треугольника ABC.
Для этого используем формулу площади треугольника через два катета и угол между ними:
S_ABC = (1/2) * AB * AC * sin(∠A).
Подставим известные значения:
S_ABC = (1/2) * 4 * 6 * sin(60°).
Зная, что sin(60°) = √3/2, получаем:
S_ABC = (1/2) * 4 * 6 * √3/2 = 12√3 / 2 = 6√3 м².
2. Найдем высоту призмы.
Площадь сечения А1ВС наклонено к основанию под углом α, и угол наклона α связан с высотой призмы через тангенс угла α. По определению тангенса угла наклона, имеем:
tg(α) = h / S_ABC,
где h — высота призмы.
Подставим tg(α) = √7 и S_ABC = 6√3:
√7 = h / 6√3.
Теперь решим это уравнение относительно h:
h = 6√3 * √7 = 6√21 м.
3. Объем призмы.
Объем прямой призмы можно найти по формуле:
V = S_ABC * h.
Подставим значения S_ABC = 6√3 м² и h = 6√21 м:
V = 6√3 * 6√21 = 36√63 = 36 * 3√7 = 108 м³.
Ответ: объем призмы равен 108 м³.