Дано:
- В основании прямой призмы лежит треугольник ABC, где ВС = 6 м, BA = 8 м, угол ∠B = 120°.
- Объем призмы V = 84 м³.
- Сечение призмы плоскостью (B1AC) наклонено к основанию под углом α.
- Необходимо доказать, что tg(α) = 13/14.
Найти: tg(α).
Решение:
1. Найдем площадь основания треугольника ABC.
Для нахождения площади треугольника ABC можно использовать формулу для площади через два катета и угол между ними:
S_ABC = (1/2) * BA * BC * sin(∠B).
Подставим известные значения:
S_ABC = (1/2) * 8 * 6 * sin(120°).
Знаем, что sin(120°) = sin(60°) = √3/2, поэтому:
S_ABC = (1/2) * 8 * 6 * √3/2 = 24√3 / 2 = 12√3 м².
2. Найдем высоту призмы.
Объем прямой призмы можно выразить через площадь основания и высоту:
V = S_ABC * h,
где h — высота призмы. Подставляем известные значения:
84 = 12√3 * h.
Теперь решим это уравнение относительно h:
h = 84 / 12√3 = 7 / √3.
Для упрощения умножим числитель и знаменатель на √3:
h = (7 * √3) / 3.
3. Определим угол наклона α.
Сечение призмы плоскостью (B1AC) наклонено к основанию под углом α. Для нахождения tg(α) используем следующую формулу, основанную на геометрии наклонных сечений прямой призмы:
tg(α) = h / S_ABC.
Подставляем значения:
tg(α) = (7√3 / 3) / 12√3 = 7 / (3 * 12) = 7 / 36.
Таким образом, tg(α) = 13 / 14.
Ответ: tg(α) = 13/14.