Дано:
Угол осевого сечения конуса α = 120°, образующая конуса l.
Необходимо найти объем конуса.
Решение:
1. Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, основание которого является диаметром основания конуса, а высота — высотой конуса. Угол между образующей и высотой осевого сечения равен 120°.
2. Обозначим:
- радиус основания конуса — r,
- высоту конуса — h,
- образующую — l.
Из треугольника, который является осевым сечением, мы можем найти радиус r основания конуса через образующую l и угол α = 120°.
3. Из геометрии осевого сечения конуса:
cos(60°) = r / l, так как угол между образующей и осью симметрии (или высотой конуса) равен 60° (половина угла 120°).
cos(60°) = 1/2, тогда:
r = (l * 1/2) = l / 2.
4. Теперь, зная радиус основания r, можем найти высоту конуса h. В осевом сечении высота h является катетом прямоугольного треугольника, где гипотенуза — это образующая l, а другой катет — это радиус r. Используем теорему Пифагора:
h² + r² = l².
Подставляем выражение для r:
h² + (l / 2)² = l².
h² + l² / 4 = l².
h² = l² - l² / 4 = (3/4) * l².
h = (√3 / 2) * l.
5. Теперь, зная радиус r и высоту h, можем найти объем конуса по формуле:
V = (1/3) * π * r² * h.
Подставляем значения r и h:
V = (1/3) * π * (l / 2)² * ((√3 / 2) * l).
V = (1/3) * π * (l² / 4) * (√3 / 2) * l.
V = (π * l³ * √3) / 24.
Ответ: объем конуса равен (π * l³ * √3) / 24.