Дано:
- Осевое сечение конуса — это треугольник с углом 120°.
- Высота конуса равна h.
Найти: объем конуса.
Решение:
1. Из геометрии осевого сечения конуса известно, что это равнобедренный треугольник, вершина которого находится в центре основания конуса. Вершины этого треугольника находятся на образующих конуса, а угол между образующими равен 120°.
2. Обозначим радиус основания конуса через r. В осевом сечении конуса высота h является высотой треугольника, а основание этого треугольника — это диаметр основания конуса, то есть 2r.
3. Из треугольника с углом 120° можно найти соотношение между высотой h и радиусом r, используя тригонометрию. В равнобедренном треугольнике с углом 120° и высотой, проведенной из вершины угла, получаем два прямоугольных треугольника, в каждом из которых угол при основании равен 60°. Тогда:
tan(60°) = h / r.
4. Зная, что tan(60°) = √3, получаем:
√3 = h / r.
Из этого уравнения находим радиус основания конуса:
r = h / √3.
5. Теперь можем найти объем конуса. Формула объема конуса:
V = (1/3) * π * r² * h.
6. Подставим значение r = h / √3:
V = (1/3) * π * (h / √3)² * h
= (1/3) * π * (h² / 3) * h
= (π * h³) / 9.
Ответ: объем конуса равен (π * h³) / 9.