Дано:
- Образующая конуса l = 18 см.
- Осевое сечение конуса — правильный треугольник.
Найти: высоту h и радиус основания r конуса.
Решение:
1. В осевом сечении конуса, которое является правильным треугольником, стороны треугольника — это высота h, радиус основания r и образующая l.
2. Учитывая, что в правильном треугольнике все углы равны 60 градусам, высота h может быть найдена по формуле:
h = (sqrt(3) / 2) * a,
где a — длина стороны равностороннего треугольника.
3. Так как образующая l является гипотенузой этого треугольника, можно записать следующую зависимость:
a = 2 * r.
4. Мы знаем, что:
l² = h² + r².
5. Подставим h через r и a:
l² = ((sqrt(3)/2) * a)² + r².
6. Заметим, что a = 2r, тогда подставляем:
l² = ((sqrt(3)/2) * (2r))² + r² = (sqrt(3) * r)² + r² = 3r² + r² = 4r².
7. Теперь можем использовать значение образующей:
18² = 4r².
8. Вычисляем:
324 = 4r².
9. Разделим обе стороны на 4:
r² = 81.
10. Извлекаем квадратный корень из r²:
r = sqrt(81) = 9 см.
11. Найдем высоту h, используя значение радиуса r:
h = (sqrt(3) / 2) * a = (sqrt(3) / 2) * (2r) = sqrt(3) * r = sqrt(3) * 9 см ≈ 15.59 см.
Ответ: радиус основания конуса равен 9 см, высота конуса равна приблизительно 15.59 см.