Дано:
Радиус основания конуса r₁ = 2 см, высота конуса h = 8 см.
Найти: площадь поверхности шара.
Решение:
1. Для начала найдем объем конуса. Объем конуса вычисляется по формуле:
V = (1/3)πr₁²h.
Подставим известные значения:
V = (1/3)π(2)²(8) = (1/3)π(4)(8) = (1/3)π(32) = 32π/3 см³.
2. Этот объем конуса будет равен объему шара, так как конус переплавили в шар.
Объем шара вычисляется по формуле:
V = (4/3)πr³.
Приравняем объемы:
32π/3 = (4/3)πr³.
3. Разделим обе части уравнения на π и на (1/3):
32/3 = 4r³/3.
Умножим обе части на 3:
32 = 4r³.
4. Разделим обе части на 4:
r³ = 32 / 4 = 8.
5. Извлекаем кубический корень из 8:
r = 2 см.
6. Теперь, зная радиус шара, найдем его площадь поверхности. Формула для площади поверхности шара:
S = 4πr².
Подставим радиус:
S = 4π(2)² = 4π(4) = 16π см².
Ответ: площадь поверхности шара S = 16π см².