Дано:
- Радиус основания конуса r = 2 см
- Высота конуса h = 8 см
- Радиус шара R = ?
Найти: площади поверхностей конуса и шара, а затем их сравнить.
Решение:
1. Объем конуса:
Объем конуса можно вычислить по формуле:
V_конуса = (1/3) * π * r² * h
Подставим известные значения:
V_конуса = (1/3) * π * 2² * 8 = (1/3) * π * 4 * 8 = (1/3) * 32π ≈ 33.51 см³
2. Объем шара:
Площадь поверхности конуса и шара одинаковы, так как металл конуса переплавлен в шар, и объем сохраняется.
Для шара объем можно выразить через радиус R:
V_шара = (4/3) * π * R³
Приравниваем объемы конуса и шара:
(1/3) * 32π = (4/3) * π * R³
Упростим выражение, разделив обе стороны на π и умножив на 3:
32 = 4 * R³
Теперь решим для R³:
R³ = 32 / 4 = 8
Таким образом, радиус шара:
R = ∛8 = 2 см
3. Площадь поверхности конуса:
Площадь поверхности конуса состоит из площади основания и боковой поверхности. Площадь основания:
S_основания = π * r² = π * 2² = 4π см²
Боковую поверхность можно найти по формуле:
S_боковая = π * r * l, где l — образующая конуса.
Для нахождения l используем теорему Пифагора:
l = √(r² + h²) = √(2² + 8²) = √(4 + 64) = √68 ≈ 8.246 см
Теперь находим боковую поверхность:
S_боковая = π * 2 * 8.246 ≈ 16.492π см²
Тогда общая площадь поверхности конуса:
S_конуса = S_основания + S_боковая ≈ 4π + 16.492π ≈ 20.492π см² ≈ 64.33 см²
4. Площадь поверхности шара:
Площадь поверхности шара вычисляется по формуле:
S_шара = 4 * π * R²
Подставляем значение радиуса:
S_шара = 4 * π * 2² = 4 * π * 4 = 16π см² ≈ 50.27 см²
Ответ:
Площадь поверхности конуса ≈ 64.33 см²
Площадь поверхности шара ≈ 50.27 см²
Площадь поверхности конуса больше, чем площадь поверхности шара.