Дано:
Сторона треугольника в основании прямой призмы a = 2√3 см, угол α = 60°, высота призмы h = 5 см.
Найти: площадь поверхности цилиндра, описанного вокруг такой призмы.
Решение:
1. Найдем радиус описанной окружности вокруг треугольника.
В основании прямой призмы лежит треугольник, и для нахождения радиуса описанной окружности вокруг треугольника воспользуемся формулой:
R = a / (2 * sin(α)).
Подставим данные:
R = 2√3 / (2 * sin(60°)).
Известно, что sin(60°) = √3 / 2, подставим это значение:
R = 2√3 / (2 * √3 / 2) = 2√3 / √3 = 2 см.
Таким образом, радиус описанной окружности R = 2 см.
2. Найдем площадь поверхности цилиндра.
Площадь поверхности цилиндра состоит из двух частей:
- Площадь боковой поверхности цилиндра.
- Площадь двух оснований цилиндра.
Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле:
S_боковая = 2πRh.
Подставим найденные значения радиуса и высоты:
S_боковая = 2π(2)(5) = 20π см².
Площадь одного основания цилиндра (круг) вычисляется по формуле:
S_основание = πR².
Подставляем радиус:
S_основание = π(2)² = 4π см².
3. Площадь поверхности цилиндра.
Площадь поверхности цилиндра состоит из двух оснований и боковой поверхности:
S_поверхность = 2S_основание + S_боковая.
Подставляем найденные значения:
S_поверхность = 2(4π) + 20π = 8π + 20π = 28π см².
Ответ: площадь поверхности цилиндра S = 28π см².