Дано:
- Одна из сторон основания треугольной пирамиды a = 12 см
- Противолежащий угол угла основания α = 60°
- Угол наклона боковых рёбер к плоскости основания β = 30°
Найти:
- Объём конуса, описанного вокруг данной пирамиды.
Решение:
1. Для начала найдем высоту h основания треугольной пирамиды. Высота h опущенная на сторону a может быть найдена с помощью формулы:
h_основание = a * sin(α),
h_основание = 12 * sin(60°),
h_основание = 12 * (√3 / 2),
h_основание = 6√3 см.
2. Теперь вычислим высоту H самой пирамиды. Она определяется как:
H = b * cos(β),
где b — длина бокового ребра, которое мы не знаем напрямую, но можем выразить через высоту основания и угол наклона:
b = h / sin(β).
Сначала найдем b, пользуясь h_основание:
b = h_основание / sin(30°),
b = (6√3) / (1/2) = 12√3 см.
3. Теперь подставим значение b для нахождения высоты H:
H = 12√3 * cos(30°),
H = 12√3 * (√3 / 2),
H = 18 см.
4. Площадь основания S треугольной пирамиды можно найти по формуле для площади треугольника:
S = (1/2) * a * h_основание,
S = (1/2) * 12 * 6√3,
S = 36√3 см².
5. Теперь можем рассчитать объём пирамиды V:
V = (1/3) * S * H,
V = (1/3) * (36√3) * 18,
V = 216√3 см³.
6. Теперь найдём радиус R описанного конуса. Для треугольника, радиус окружности, описанной около него равен:
R = (abc) / (4S),
где a, b, c – стороны треугольника. В нашем случае одна сторона a известна, а две другие можно рассчитать. Однако проще будет воспользоваться другой формулой, основываясь на равнобедренном треугольнике:
R = a / (2sin(α)).
7. Подставляем значение a:
R = 12 / (2 * sin(60°)),
R = 12 / (2 * √3 / 2) = 12 / √3 = 4√3 см.
8. Объём конуса V_конуса рассчитывается по формуле:
V_конуса = (1/3) * π * R² * H,
где H — высота конуса равная высоте пирамиды H.
9. Подставляем значения:
V_конуса = (1/3) * π * (4√3)² * 18,
V_конуса = (1/3) * π * 48 * 18,
V_конуса = 288π см³.
Ответ:
Объём конуса, описанного вокруг данной пирамиды, составляет 288π см³.