Дано:
Сторона треугольника в основании призмы a = 2√2 см, угол при этой стороне α = 45°, высота призмы h = 5 см.
Найти: площадь поверхности цилиндра, описанного вокруг призмы.
Решение:
1. Для начала найдем радиус основания цилиндра. Это будет расстояние от центра описанной окружности треугольника до его вершины. Так как треугольник прямоугольный (острый угол 45°), то основание цилиндра будет равно радиусу описанной окружности вокруг этого треугольника.
Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности вычисляется по формуле:
R = a / √2.
Подставим известные значения:
R = (2√2) / √2 = 2 см.
2. Далее, для нахождения площади поверхности цилиндра нужно вычислить две части:
- Площадь боковой поверхности цилиндра.
- Площадь двух оснований цилиндра.
Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле:
S_боковая = 2πRh.
Подставим известные значения:
S_боковая = 2π(2)(5) = 20π см².
3. Площадь основания цилиндра (круг) вычисляется по формуле:
S_основание = πR².
Подставим значение радиуса:
S_основание = π(2)² = 4π см².
4. Площадь поверхности цилиндра состоит из двух оснований и боковой поверхности:
S_поверхность = 2S_основание + S_боковая.
Подставим найденные значения:
S_поверхность = 2(4π) + 20π = 8π + 20π = 28π см².
Ответ: площадь поверхности цилиндра S = 28π см².