дано:
- точки A (-2; 3; 0) и B (2; -1; 4).
найти:
- уравнение сферы с диаметром AB.
решение:
1. Найдем координаты центра сферы. Центр C находится на середине отрезка AB:
C = ((x_A + x_B) / 2; (y_A + y_B) / 2; (z_A + z_B) / 2).
Подставим значения:
C = ((-2 + 2) / 2; (3 - 1) / 2; (0 + 4) / 2) = (0; 1; 2).
2. Найдем радиус сферы. Радиус r равен половине длины отрезка AB:
r = 1/2 * |AB|.
Сначала найдем расстояние |AB|:
|AB| = √((x_B - x_A)² + (y_B - y_A)² + (z_B - z_A)²) = √((2 - (-2))² + (-1 - 3)² + (4 - 0)²).
Упрощаем:
|AB| = √((2 + 2)² + (-4)² + (4)²) = √(4² + 4² + 4²) = √(16 + 16 + 16) = √48 = 4√3.
Теперь радиус:
r = 1/2 * 4√3 = 2√3.
3. Уравнение сферы с центром в точке C (x₀; y₀; z₀) и радиусом r имеет вид:
(x - x₀)² + (y - y₀)² + (z - z₀)² = r².
4. Подставим значения:
(x - 0)² + (y - 1)² + (z - 2)² = (2√3)².
5. Упростим уравнение:
(x)² + (y - 1)² + (z - 2)² = 4 * 3 = 12.
ответ:
- уравнение сферы: x² + (y - 1)² + (z - 2)² = 12.