дано:
- точки A (3; -2; 0) и B (-1; 2; 4).
найти:
- уравнение сферы с диаметром AB.
решение:
1. Найдем координаты центра сферы, который находится на середине отрезка AB. Центр C вычисляется по формуле:
C = ((x_A + x_B) / 2; (y_A + y_B) / 2; (z_A + z_B) / 2).
Подставим значения:
C = ((3 + (-1)) / 2; (-2 + 2) / 2; (0 + 4) / 2) = (2/2; 0/2; 4/2) = (1; 0; 2).
2. Найдем радиус сферы, который равен половине длины отрезка AB. Сначала найдем расстояние |AB|:
|AB| = √((x_B - x_A)² + (y_B - y_A)² + (z_B - z_A)²) = √((-1 - 3)² + (2 - (-2))² + (4 - 0)²).
Упрощаем:
|AB| = √((-4)² + (4)² + (4)²) = √(16 + 16 + 16) = √48 = 4√3.
3. Теперь радиус r равен половине длины отрезка:
r = 1/2 * |AB| = 1/2 * 4√3 = 2√3.
4. Уравнение сферы с центром в точке C (x₀; y₀; z₀) и радиусом r имеет вид:
(x - x₀)² + (y - y₀)² + (z - z₀)² = r².
5. Подставим значения:
(x - 1)² + (y - 0)² + (z - 2)² = (2√3)².
6. Упростим уравнение:
(x - 1)² + y² + (z - 2)² = 4 * 3 = 12.
ответ:
- уравнение сферы: (x - 1)² + y² + (z - 2)² = 12.