Известны координаты точек: А (-1; 2; 3), В (3; 2; 0), С (-2; 3; 0), D (1; 3; 1). Определите величину угла между прямыми АС и BD.
от

1 Ответ

дано:
- точка A (-1; 2; 3).
- точка B (3; 2; 0).
- точка C (-2; 3; 0).
- точка D (1; 3; 1).

найти:
- угол между прямыми AC и BD.

решение:

1. Найдем векторы AC и BD:
   - Вектор AC = C - A = (-2 - (-1); 3 - 2; 0 - 3) = (-1; 1; -3).
   - Вектор BD = D - B = (1 - 3; 3 - 2; 1 - 0) = (-2; 1; 1).

2. Теперь найдем скалярное произведение векторов AC и BD:
   AC • BD = (-1; 1; -3) • (-2; 1; 1) = (-1)*(-2) + (1)*1 + (-3)*1.

   Вычислим каждую часть:
   - (-1)*(-2) = 2,
   - (1)*1 = 1,
   - (-3)*1 = -3.

   Подставим и сложим:
   AC • BD = 2 + 1 - 3 = 0.

3. Найдем длины векторов AC и BD:
   - |AC| = √((-1)² + 1² + (-3)²) = √(1 + 1 + 9) = √11.
   - |BD| = √((-2)² + 1² + 1²) = √(4 + 1 + 1) = √6.

4. Используем формулу для нахождения угла между векторами:
   cos(θ) = (AC • BD) / (|AC| * |BD|).

5. Подставим известные значения:
   cos(θ) = 0 / (√11 * √6) = 0.

6. Поскольку cos(θ) = 0, значит угол θ = 90°.

ответ:
- угол между прямыми AC и BD равен 90°.
от