дано:
- точка A (-1; 2; 3).
- точка B (3; 2; 0).
- точка C (-2; 3; 0).
- точка D (1; 3; 1).
найти:
- угол между прямыми AC и BD.
решение:
1. Найдем векторы AC и BD:
- Вектор AC = C - A = (-2 - (-1); 3 - 2; 0 - 3) = (-1; 1; -3).
- Вектор BD = D - B = (1 - 3; 3 - 2; 1 - 0) = (-2; 1; 1).
2. Теперь найдем скалярное произведение векторов AC и BD:
AC • BD = (-1; 1; -3) • (-2; 1; 1) = (-1)*(-2) + (1)*1 + (-3)*1.
Вычислим каждую часть:
- (-1)*(-2) = 2,
- (1)*1 = 1,
- (-3)*1 = -3.
Подставим и сложим:
AC • BD = 2 + 1 - 3 = 0.
3. Найдем длины векторов AC и BD:
- |AC| = √((-1)² + 1² + (-3)²) = √(1 + 1 + 9) = √11.
- |BD| = √((-2)² + 1² + 1²) = √(4 + 1 + 1) = √6.
4. Используем формулу для нахождения угла между векторами:
cos(θ) = (AC • BD) / (|AC| * |BD|).
5. Подставим известные значения:
cos(θ) = 0 / (√11 * √6) = 0.
6. Поскольку cos(θ) = 0, значит угол θ = 90°.
ответ:
- угол между прямыми AC и BD равен 90°.