дано:
- сторона AB = 26 см (гипотенуза).
- tg∠B = 5/12.
найти:
- радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник (r).
решение:
1. Обозначим:
- AC = b (катет, противолежащий углу B).
- BC = a (катет, прилежащий к углу B).
2. Используем тангенс угла B:
tg∠B = b/a = 5/12.
3. Из этого соотношения выразим b через a:
b = (5/12)a.
4. В прямоугольном треугольнике по теореме Пифагора имеем:
AB² = AC² + BC², или 26² = b² + a².
5. Подставим выражение для b:
26² = (5/12)a² + a².
6. Приведем к общему знаменателю:
676 = (25/144)a² + (144/144)a² = (169/144)a².
7. Умножим обе стороны на 144:
144 * 676 = 169a²,
97104 = 169a².
8. Найдем a²:
a² = 97104 / 169 ≈ 574.
9. Найдем a:
a ≈ √574 ≈ 23.98 см.
10. Теперь найдем b:
b = (5/12)a ≈ (5/12) * 23.98 ≈ 9.99 см.
11. Теперь можем найти радиус r вписанной окружности:
r = (a + b - c) / 2, где c = AB = 26 см.
12. Подставим значения:
r = (a + b - 26) / 2 ≈ (23.98 + 9.99 - 26) / 2 ≈ 7.97 / 2 ≈ 3.99 см.
ответ:
- Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен r ≈ 3.99 см.