Дано:
1. Радиус вписанной окружности r = 12 см.
2. Расстояние от центра окружности до вершины B (d) = 20 см.
Найти:
Периметр равнобедренного треугольника ABC.
Решение:
1. Обозначим стороны треугольника: AB = AC = a, BC = b.
2. Площадь треугольника S можно выразить через радиус вписанной окружности и полупериметр:
S = r * p,
где p — полупериметр:
p = (a + a + b) / 2 = (2a + b) / 2.
3. Таким образом, площадь S:
S = 12 * (2a + b) / 2 = 12(a + (b / 2)).
4. Также можем выразить площадь S через высоту и основание. Высота из вершины A на сторону BC равна h:
S = (1/2) * b * h.
5. Теперь найдем высоту h через радиус r и расстояние d. В равнобедренном треугольнике существует соотношение между радиусом вписанной окружности, высотой и расстоянием от центра окружности до вершины:
h = r + d.
Подставим значения:
h = 12 + 20 = 32 см.
6. Теперь выразим площадь S через основание b и высоту h:
S = (1/2) * b * 32.
7. Уравняем два выражения для площади:
12(a + (b / 2)) = (1/2) * b * 32.
Упрощаем:
24(a + (b / 2)) = b * 32.
24a + 12b = 32b.
24a = 32b - 12b.
24a = 20b.
a = (20/24) * b = (5/6) * b.
8. Теперь найдем периметр P равнобедренного треугольника ABC:
P = AB + AC + BC = a + a + b = 2a + b.
Подставим a:
P = 2 * (5/6)b + b = (10/6)b + b = (10/6)b + (6/6)b = (16/6)b = (8/3)b.
9. Теперь выразим b через радиус и высоту. У нас есть h = 32 см, и мы знаем, что:
b = (24/32) * h = (3/4) * 32 = 24 см.
10. Подставим значение b в формулу для периметра:
P = (8/3) * 24 = 64 см.
Ответ:
Периметр треугольника ABC равен 64 см.