дано: периметр треугольника P = 12 см, гипотенуза c = 5 см.
найти: радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник r.
решение:
1. В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности r можно найти по формуле:
r = (a + b - c) / 2,
где a и b — катеты, c — гипотенуза.
2. Периметр треугольника P = a + b + c. Известно, что P = 12 см, c = 5 см, следовательно:
a + b + 5 = 12,
a + b = 7.
3. Используем теорему Пифагора для нахождения катетов:
a^2 + b^2 = c^2,
a^2 + b^2 = 5^2 = 25.
4. Мы имеем систему уравнений:
a + b = 7,
a^2 + b^2 = 25.
5. Выразим (a + b)^2:
(a + b)^2 = 7^2 = 49.
6. Развернем это выражение:
a^2 + 2ab + b^2 = 49.
7. Подставим a^2 + b^2 = 25:
25 + 2ab = 49,
2ab = 49 - 25 = 24,
ab = 12.
8. Теперь, зная a + b = 7 и ab = 12, можем найти катеты a и b, решив квадратное уравнение:
x^2 - (a + b)x + ab = 0,
x^2 - 7x + 12 = 0.
9. Находим корни уравнения:
D = (-7)^2 - 4*1*12 = 49 - 48 = 1,
x = (7 ± √1) / 2 = (7 ± 1) / 2.
10. Таким образом, получаем катеты:
a = (7 + 1) / 2 = 4 см,
b = (7 - 1) / 2 = 3 см.
11. Теперь можно найти радиус вписанной окружности:
r = (a + b - c) / 2 = (4 + 3 - 5) / 2 = 2 см.
ответ: радиус вписанной окружности равен 2 см.