Найдите  радиус  окружности,  вписанной  в  прямоугольный  треугольник  с  периметром  12  см  и  гипотенузой,  равной  5  см
от

1 Ответ

дано: периметр треугольника P = 12 см, гипотенуза c = 5 см.

найти: радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник r.

решение:
1. В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности r можно найти по формуле:
   r = (a + b - c) / 2,
   где a и b — катеты, c — гипотенуза.

2. Периметр треугольника P = a + b + c. Известно, что P = 12 см, c = 5 см, следовательно:
   a + b + 5 = 12,
   a + b = 7.

3. Используем теорему Пифагора для нахождения катетов:
   a^2 + b^2 = c^2,
   a^2 + b^2 = 5^2 = 25.

4. Мы имеем систему уравнений:
   a + b = 7,
   a^2 + b^2 = 25.

5. Выразим (a + b)^2:
   (a + b)^2 = 7^2 = 49.

6. Развернем это выражение:
   a^2 + 2ab + b^2 = 49.

7. Подставим a^2 + b^2 = 25:
   25 + 2ab = 49,
   2ab = 49 - 25 = 24,
   ab = 12.

8. Теперь, зная a + b = 7 и ab = 12, можем найти катеты a и b, решив квадратное уравнение:
   x^2 - (a + b)x + ab = 0,
   x^2 - 7x + 12 = 0.

9. Находим корни уравнения:
   D = (-7)^2 - 4*1*12 = 49 - 48 = 1,
   x = (7 ± √1) / 2 = (7 ± 1) / 2.

10. Таким образом, получаем катеты:
    a = (7 + 1) / 2 = 4 см,
    b = (7 - 1) / 2 = 3 см.

11. Теперь можно найти радиус вписанной окружности:
    r = (a + b - c) / 2 = (4 + 3 - 5) / 2 = 2 см.

ответ: радиус вписанной окружности равен 2 см.
от