Найдите  диаметр  окружности,  вписанной  в  прямоугольный  треугольник  с  периметром  Р  и  гипотенузой,  равной  а.
от

1 Ответ

дано: периметр треугольника P, гипотенуза c = a.

найти: диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник D.

решение:
1. Радиус вписанной окружности r прямоугольного треугольника можно найти по формуле:
   r = (a + b - c) / 2,
   где a и b — катеты, c — гипотенуза.

2. Периметр треугольника P = a + b + c. Известно, что P = a + b + a, так как гипотенуза равна a, следовательно:
   P = 2a + b.

3. Из этого уравнения можно выразить катет b:
   b = P - 2a.

4. Используем теорему Пифагора:
   a^2 + b^2 = c^2,
   a^2 + (P - 2a)^2 = a^2.

5. Раскроем скобки:
   a^2 + (P^2 - 4aP + 4a^2) = a^2,
   P^2 - 4aP + 5a^2 = 0.

6. Решим это уравнение относительно a. Для этого можно использовать формулу для корней квадратного уравнения:
   a = (-(-4P) ± √((-4P)^2 - 4*5*P^2)) / (2*5).

7. Упростим и вычислим корни, затем можно найти радиус r.

8. Диаметр D окружности равен удвоенному радиусу:
   D = 2r.

ответ: диаметр окружности равен 2r.
от