дано: периметр треугольника P, гипотенуза c = a.
найти: диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник D.
решение:
1. Радиус вписанной окружности r прямоугольного треугольника можно найти по формуле:
r = (a + b - c) / 2,
где a и b — катеты, c — гипотенуза.
2. Периметр треугольника P = a + b + c. Известно, что P = a + b + a, так как гипотенуза равна a, следовательно:
P = 2a + b.
3. Из этого уравнения можно выразить катет b:
b = P - 2a.
4. Используем теорему Пифагора:
a^2 + b^2 = c^2,
a^2 + (P - 2a)^2 = a^2.
5. Раскроем скобки:
a^2 + (P^2 - 4aP + 4a^2) = a^2,
P^2 - 4aP + 5a^2 = 0.
6. Решим это уравнение относительно a. Для этого можно использовать формулу для корней квадратного уравнения:
a = (-(-4P) ± √((-4P)^2 - 4*5*P^2)) / (2*5).
7. Упростим и вычислим корни, затем можно найти радиус r.
8. Диаметр D окружности равен удвоенному радиусу:
D = 2r.
ответ: диаметр окружности равен 2r.