Около  окружности  радиуса  2  описан  прямоугольный  треугольник  с  гипотенузой,  равной  10.  Чему  равен  периметр  треугольника?
от

1 Ответ

дано: радиус окружности R = 2, гипотенуза прямоугольного треугольника c = 10.

найти: периметр треугольника P.

решение:
1. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой c и радиусом описанной окружности R выполняется соотношение:
   R = c / 2.

2. Подставим известные значения:
   2 = 10 / 2.
   Это уравнение подтверждает, что радиус окружности действительно равен 2.

3. Обозначим катеты треугольника как a и b. По теореме Пифагора имеем:
   a^2 + b^2 = c^2,
   то есть
   a^2 + b^2 = 10^2 = 100.

4. Радиус окружности вписанного в треугольник (r) можно найти по формуле:
   r = (a + b - c) / 2.

5. Поскольку у нас есть радиус окружности (r = 2), мы можем записать:
   2 = (a + b - 10) / 2.

6. Умножим обе стороны на 2:
   4 = a + b - 10.
   Следовательно,
   a + b = 14.

7. Теперь у нас есть система уравнений:
   a^2 + b^2 = 100
   a + b = 14.

8. Выразим b через a из второго уравнения:
   b = 14 - a.

9. Подставим b в первое уравнение:
   a^2 + (14 - a)^2 = 100.
   Раскроем скобки:
   a^2 + (196 - 28a + a^2) = 100.
   Объединим подобные члены:
   2a^2 - 28a + 196 - 100 = 0,
   2a^2 - 28a + 96 = 0.

10. Разделим все на 2:
    a^2 - 14a + 48 = 0.

11. Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:
    D = (-14)^2 - 4*1*48 = 196 - 192 = 4.
    Корни будут:
    a = (14 ± √4) / 2 = (14 ± 2) / 2.

12. Таким образом:
    a1 = (16) / 2 = 8,
    a2 = (12) / 2 = 6.

13. Получаем катеты:
    a = 6, b = 8 (или наоборот).

14. Периметр треугольника P вычисляется по формуле:
    P = a + b + c = 6 + 8 + 10 = 24.

ответ: периметр треугольника равен 24.
от