дано: радиус окружности R = 2, гипотенуза прямоугольного треугольника c = 10.
найти: периметр треугольника P.
решение:
1. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой c и радиусом описанной окружности R выполняется соотношение:
R = c / 2.
2. Подставим известные значения:
2 = 10 / 2.
Это уравнение подтверждает, что радиус окружности действительно равен 2.
3. Обозначим катеты треугольника как a и b. По теореме Пифагора имеем:
a^2 + b^2 = c^2,
то есть
a^2 + b^2 = 10^2 = 100.
4. Радиус окружности вписанного в треугольник (r) можно найти по формуле:
r = (a + b - c) / 2.
5. Поскольку у нас есть радиус окружности (r = 2), мы можем записать:
2 = (a + b - 10) / 2.
6. Умножим обе стороны на 2:
4 = a + b - 10.
Следовательно,
a + b = 14.
7. Теперь у нас есть система уравнений:
a^2 + b^2 = 100
a + b = 14.
8. Выразим b через a из второго уравнения:
b = 14 - a.
9. Подставим b в первое уравнение:
a^2 + (14 - a)^2 = 100.
Раскроем скобки:
a^2 + (196 - 28a + a^2) = 100.
Объединим подобные члены:
2a^2 - 28a + 196 - 100 = 0,
2a^2 - 28a + 96 = 0.
10. Разделим все на 2:
a^2 - 14a + 48 = 0.
11. Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:
D = (-14)^2 - 4*1*48 = 196 - 192 = 4.
Корни будут:
a = (14 ± √4) / 2 = (14 ± 2) / 2.
12. Таким образом:
a1 = (16) / 2 = 8,
a2 = (12) / 2 = 6.
13. Получаем катеты:
a = 6, b = 8 (или наоборот).
14. Периметр треугольника P вычисляется по формуле:
P = a + b + c = 6 + 8 + 10 = 24.
ответ: периметр треугольника равен 24.