дано:
- AC = 7 см,
- BC = 8 см,
- отношение отрезков, на которые точка O делит биссектрису: BO : OM = 2 : 1.
найти:
- длину стороны AB.
решение:
1. Обозначим длину стороны AB как x. В треугольнике ABC по теореме о биссектрисе имеем:
AB / AC = BO / OC.
2. Обозначим длину отрезка BO как 2k, а отрезка OM как k. Тогда:
BO + OM = 3k.
3. Поскольку точка O является центром вписанной окружности, можно записать:
BO + OC = BC,
3k + OC = 8,
откуда OC = 8 - 3k.
4. По теореме о биссектрисе:
AB / AC = BO / OC,
x / 7 = 2k / (8 - 3k).
5. Перемножим:
x(8 - 3k) = 14k.
6. Раскроем скобки:
8x - 3kx = 14k.
7. Переносим все на одну сторону:
8x = 14k + 3kx,
8x - 3kx = 14k,
x(8 - 3k) = 14k.
8. Теперь выразим k через x:
k = 8x / (14 + 3x).
9. Теперь найдем k, подставив в уравнение для OC:
OC = 8 - 3k = 8 - 3(8x / (14 + 3x)) = 8 - (24x / (14 + 3x)).
10. Объединим в одно уравнение, чтобы выразить x:
OC = 8 - (24x / (14 + 3x)) = (8(14 + 3x) - 24x) / (14 + 3x) = (112 + 24x - 24x) / (14 + 3x) = 112 / (14 + 3x).
11. Поскольку OC также равно 8 - 3k, подставим k:
OC = 8 - 3(8x / (14 + 3x)) = (8(14 + 3x) - 24x) / (14 + 3x) = 112 / (14 + 3x).
12. Приравняем оба выражения для OC и решим уравнение:
112 / (14 + 3x) = 8 - (24x / (14 + 3x)).
13. Умножим обе стороны на (14 + 3x):
112 = (8(14 + 3x) - 24x),
112 = 112 + 24x - 24x,
0 = 0 (тождества).
14. Теперь подставим значение k обратно:
k = 8x / (14 + 3x).
15. Используя отношение:
x = 14 * 8 / (8 + 7 + 24),
x = 14 * 8 / 39,
x ≈ 2.857 см.
ответ:
- Длина стороны AB равна x ≈ 2.857 см.