Дано:
Площадь трапеции S = 27√3 см².
Одно из оснований вдвое больше другого: пусть a — меньшее основание, тогда b = 2a.
Диагональ делит острый угол при основании пополам.
Найти: периметр трапеции.
Решение:
1. Запишем формулу для площади трапеции.
Площадь трапеции можно выразить через основания и высоту:
S = (a + b) * h / 2.
Подставим b = 2a:
S = (a + 2a) * h / 2,
S = 3a * h / 2.
2. Подставим известное значение площади.
27√3 = (3a * h) / 2.
Умножим обе стороны на 2:
54√3 = 3a * h.
3. Выразим h.
h = 18√3 / a.
4. Найдем высоту через другие параметры.
Поскольку диагональ делит острый угол пополам, воспользуемся свойствами треугольников, образованных диагональю и высотой. Обозначим высоту h.
5. Запишем длины боковых сторон.
С учетом, что основание b = 2a, и высота h, боковые стороны равнобедренной трапеции можно выразить через теорему Пифагора. Обозначим боковые стороны как c.
c^2 = h^2 + (b - a)/2^2.
Подставим b = 2a:
c^2 = h^2 + (2a - a)/2^2,
c^2 = h^2 + (a/2)^2,
c^2 = h^2 + a^2/4.
6. Теперь подставим h.
h = 18√3 / a:
c^2 = (18√3 / a)^2 + a^2 / 4,
c^2 = (324 * 3) / a^2 + a^2 / 4,
c^2 = 972 / a^2 + a^2 / 4.
7. Теперь найдем периметр трапеции.
Периметр P равен:
P = a + b + 2c,
P = a + 2a + 2c,
P = 3a + 2c.
8. Найдем c.
Для дальнейших расчетов, чтобы выразить c через a, подставим значение c:
P = 3a + 2 * sqrt(972/a^2 + a^2/4).
9. Определим значение a.
Сначала найдем a через площадь:
54√3 = 3a * (18√3 / a),
54√3 = 54√3.
Это уравнение всегда верно, и мы можем выбрать значение a, чтобы найти конкретное значение:
Пусть a = 6:
b = 2a = 12.
Теперь найдем высоту:
h = 18√3 / 6 = 3√3.
10. Теперь найдем боковые стороны.
c² = (3√3)² + (12 - 6)/2²,
c² = 27 + 3²,
c² = 27 + 9 = 36,
c = 6.
11. Теперь найдем периметр.
P = 3a + 2c,
P = 3*6 + 2*6,
P = 18 + 12,
P = 30 см.
Ответ: периметр трапеции равен 30 см.