Дано:
- Радиус окружности R = 4.
- Диаметр АВ, следовательно, длина АВ = 2R = 8.
- Хорда CD пересекает диаметр АВ в точке М, где СМ = 3, MD = 4.
Найти:
- Угол между прямыми АВ и CD.
Решение:
1. Сначала найдём длину хорды CD. Из условия задачи известно, что СМ = 3 и MD = 4, следовательно, длина хорды CD = СМ + MD = 3 + 4 = 7.
2. Теперь воспользуемся теоремой о пересечении хорды с диаметром. Согласно этой теореме, произведение отрезков, на которые хорда делит диаметр, равно произведению длин отрезков хорды с той стороны, где пересекается диаметр:
СМ × MD = AM × MB.
Подставим известные значения:
3 × 4 = AM × MB,
12 = AM × MB.
Так как длина диаметра АВ = 8, то AM + MB = 8. Обозначим AM = x, тогда MB = 8 - x.
Подставим это в уравнение:
x × (8 - x) = 12.
Раскроем скобки:
x(8 - x) = 12,
8x - x² = 12,
x² - 8x + 12 = 0.
Решим это квадратное уравнение:
x = (8 ± √(8² - 4 × 1 × 12)) / 2 × 1
x = (8 ± √(64 - 48)) / 2
x = (8 ± √16) / 2
x = (8 ± 4) / 2.
Таким образом, получаем два корня:
x = (8 + 4) / 2 = 12 / 2 = 6,
x = (8 - 4) / 2 = 4 / 2 = 2.
Значит, AM = 6, а MB = 2.
3. Теперь можем использовать теорему о синусах для вычисления угла между прямыми АВ и CD. Для этого нам нужно найти угол θ, который образуют эти прямые в точке М.
По теореме о синусах для треугольника, образованного центром окружности, точкой пересечения и концами хорды, угол между прямыми АВ и CD можно выразить как:
sin(θ) = (длина хорды CD) / (2 × радиус окружности).
Подставляем известные значения:
sin(θ) = 7 / (2 × 4) = 7 / 8.
Таким образом, угол θ = arcsin(7/8).
Решив это выражение, получаем:
θ ≈ 61,93°.
Ответ:
Угол между прямыми АВ и CD примерно равен 61,93°.