Дано:
масса шайбы m = 500 г = 0,5 кг
радиус петли R = 1 м
высота, на которой шайба давит на стенку с силой F = 4 Н, h = 2 м
ускорение свободного падения g = 9,8 м/с²
скорость на высоте h = 2 м в мертвую петлю (на точке, где шайба давит на стенку с силой 4 Н).
Необходимо найти высоту горки H.
Решение:
1. Сначала найдем скорость шайбы на высоте 2 м.
На высоте 2 м шайба находится в мертвой петле. Для того чтобы шайба не вылетела, сила нормального давления должна быть не менее нуля, т.е. центростремительное ускорение должно быть достаточно для того, чтобы шайба оставалась на пути. На этой высоте нормальная сила F_N связана с массой шайбы и её скоростью следующим образом:
F_N = m * (v^2 / R)
где v — скорость шайбы на высоте 2 м.
Также известно, что сила нормального давления на стенку в данной точке равна 4 Н:
F_N = 4 Н
Таким образом, у нас есть уравнение:
m * (v^2 / R) = 4
Подставим значения массы m = 0,5 кг и радиуса R = 1 м:
0,5 * (v^2 / 1) = 4
v^2 = 4 / 0,5 = 8
v = √8 ≈ 2,83 м/с
2. Теперь найдем скорость шайбы на верхней точке петли.
Для этого воспользуемся законом сохранения механической энергии. Энергия в системе сохраняется, поскольку нет внешних сил, кроме силы тяжести. Потенциальная энергия на высоте H и кинетическая энергия на высоте H должны быть равны сумме потенциальной и кинетической энергии на высоте 2 м.
Начальная энергия на высоте H:
E_нач = m * g * H
Энергия на высоте 2 м:
E_2 = (1/2) * m * v^2 + m * g * 2
Используя закон сохранения энергии:
E_нач = E_2
m * g * H = (1/2) * m * v^2 + m * g * 2
Сокращаем на m:
g * H = (1/2) * v^2 + g * 2
Подставим известные значения g = 9,8 м/с² и v^2 = 8:
9,8 * H = (1/2) * 8 + 9,8 * 2
9,8 * H = 4 + 19,6
9,8 * H = 23,6
H = 23,6 / 9,8 ≈ 2,4 м
Ответ: высота горки H ≈ 2,4 м.