Дано 1:
Точка А (3; -1; 2),
Точка В (2; 0; -A),
Точка С (4; -1; -5).
Найти: уравнение плоскости, проходящей через точку A и перпендикулярной прямой ВС.
Решение:
1. Для нахождения уравнения плоскости, необходимо найти вектор, который будет перпендикулярен прямой ВС. Для этого вычислим вектор BC.
Вектор BC = (C_x - B_x, C_y - B_y, C_z - B_z).
Для точек B (2; 0; -A) и C (4; -1; -5) получаем:
BC = (4 - 2, -1 - 0, -5 - (-A)) = (2, -1, -5 + A).
2. Уравнение плоскости имеет вид:
Ax + By + Cz = D,
где (A, B, C) — это координаты нормального вектора плоскости.
Нормальный вектор плоскости будет совпадать с вектором BC, так как плоскость перпендикулярна прямой BC. То есть нормальный вектор плоскости: (2, -1, -5 + A).
3. Подставим координаты точки A (3, -1, 2) в уравнение плоскости, чтобы найти D.
Уравнение плоскости: 2x - y + (-5 + A)z = D.
Подставляем x = 3, y = -1, z = 2 в уравнение:
2(3) - (-1) + (-5 + A)(2) = D,
6 + 1 + (-10 + 2A) = D,
7 - 10 + 2A = D,
D = -3 + 2A.
Итак, уравнение плоскости будет:
2x - y + (-5 + A)z = -3 + 2A.
Ответ: Уравнение плоскости:
2x - y + (-5 + A)z = -3 + 2A.
---
Дано 2:
Точка А (3; -1; 2),
Точка В (6; -7; -2),
Точка С (9; -5; 1).
Найти: уравнение плоскости, проходящей через точку A и перпендикулярной прямой ВС.
Решение:
1. Для нахождения уравнения плоскости, необходимо найти вектор, который будет перпендикулярен прямой ВС. Для этого вычислим вектор BC.
Вектор BC = (C_x - B_x, C_y - B_y, C_z - B_z).
Для точек B (6; -7; -2) и C (9; -5; 1) получаем:
BC = (9 - 6, -5 - (-7), 1 - (-2)) = (3, 2, 3).
2. Уравнение плоскости имеет вид:
Ax + By + Cz = D,
где (A, B, C) — это координаты нормального вектора плоскости.
Нормальный вектор плоскости будет совпадать с вектором BC, так как плоскость перпендикулярна прямой BC. То есть нормальный вектор плоскости: (3, 2, 3).
3. Подставим координаты точки A (3, -1, 2) в уравнение плоскости, чтобы найти D.
Уравнение плоскости: 3x + 2y + 3z = D.
Подставляем x = 3, y = -1, z = 2 в уравнение:
3(3) + 2(-1) + 3(2) = D,
9 - 2 + 6 = D,
D = 13.
Итак, уравнение плоскости будет:
3x + 2y + 3z = 13.
Ответ: Уравнение плоскости:
3x + 2y + 3z = 13.