Прямоугольник MM1N1N— сечение цилиндра, параллельное его оси (рис. 7.17). Точки А и В лежат на основаниях цилиндра по разные стороны от данного сечения. Постройте точку пересечения прямой ЛВ с плоскостью MM1N1
от

1 Ответ

Дано:
- Прямоугольник MM1N1N является сечением цилиндра, параллельным его оси.
- Точки A и B лежат на основаниях цилиндра по разные стороны от данного сечения.

Найти: координаты точки пересечения прямой AB с плоскостью MM1N1.

Решение:

1. Определим систему координат. Пусть центр оснований цилиндра находится в начале координат (0, 0, 0), а высота цилиндра равна h. Таким образом, нижние и верхние основания цилиндра могут быть определены как:
   - Нижнее основание: z = 0.
   - Верхнее основание: z = h.

2. Плоскость MM1N1, являющаяся сечением цилиндра, может быть задана уравнением z = k, где k – значение высоты, на которой расположено сечение.

3. Пусть точки A и B имеют координаты:
   - A(xA, yA, 0) на нижнем основании (z = 0),
   - B(xB, yB, h) на верхнем основании (z = h).

4. Уравнение прямой AB можно записать в параметрической форме. Если t - параметр, то координаты точки на прямой AB будут определяться как:

   x(t) = xA + (xB - xA) * t,
   y(t) = yA + (yB - yA) * t,
   z(t) = 0 + (h - 0) * t = ht,  где 0 ≤ t ≤ 1.

5. Для нахождения точки пересечения прямой AB с плоскостью MM1N1, мы приравниваем z(t) к k (высоте сечения):

   ht = k.

6. Отсюда можно выразить t:

   t = k/h.

7. Теперь подставляем значение t в уравнения для x(t) и y(t):

   x_intersection = xA + (xB - xA) * (k/h),
   y_intersection = yA + (yB - yA) * (k/h).

8. Таким образом, точка пересечения прямой AB с плоскостью MM1N1 имеет координаты:

   P(x_intersection, y_intersection, k).

Ответ: точка пересечения прямой AB с плоскостью MM1N1 имеет координаты P(xA + (xB - xA) * (k/h), yA + (yB - yA) * (k/h), k).
от