Дано:
- Длина первого основания трапеции a = 6 см.
- Длина второго основания b = 27 см.
- Длина боковой стороны c = 13 см.
Найти: радиус окружности, вписанной в данную трапецию r.
Решение:
1. Для вычисления радиуса вписанной окружности трапеции необходимо определить ее полупериметр p и площадь S.
2. Полупериметр p трапеции можно найти по формуле:
p = (a + b + c + d) / 2,
где d — длина другой боковой стороны. В данном случае нам нужно выразить d.
3. Используем теорему о существовании вписанной окружности в трапеции, которая гласит, что для равновесия суммы оснований равны сумме боковых сторон. Таким образом:
a + b = c + d,
6 + 27 = 13 + d,
d = 33 - 13 = 20 см.
4. Теперь можем найти полупериметр:
p = (6 + 27 + 13 + 20) / 2 = 33 см.
5. Далее найдем площадь S трапеции по формуле:
S = (a + b) * h / 2,
где h — высота трапеции. Для нахождения высоты h воспользуемся формулой для высоты трапеции, используя теорему Пифагора в образованных прямоугольных треугольниках.
6. Высота h может быть найдена из следующего уравнения:
h^2 + ((b - a) / 2)^2 = c^2.
Подставляем значения:
h^2 + ((27 - 6) / 2)^2 = 13^2,
h^2 + (21/2)^2 = 169,
h^2 + 110.25 = 169,
h^2 = 169 - 110.25 = 58.75,
h = sqrt(58.75) ≈ 7.66 см.
7. Теперь можем посчитать площадь S:
S = (6 + 27) * 7.66 / 2 = 33 * 7.66 / 2 = 126.78 см².
8. Наконец, радиус вписанной окружности можно найти по формуле:
r = S / p.
9. Подставим значения S и p:
r = 126.78 / 33 ≈ 3.84 см.
Ответ: радиус окружности, вписанной в данную трапецию, примерно равен 3.84 см.