Дано:
- Ребро куба равно a.
Найти: площадь полной поверхности цилиндра, описанного около куба.
Решение:
1. При описании цилиндра вокруг куба основание цилиндра будет окружностью, радиус которой равен половине диагонали грани куба.
2. Диагональ грани куба можно найти по формуле:
d = sqrt(a^2 + a^2) = sqrt(2a^2) = a * sqrt(2).
3. Радиус r основания цилиндра равен половине диагонали грани:
r = (d / 2) = (a * sqrt(2)) / 2 = (a * sqrt(2)) / 2.
4. Высота цилиндра h равна высоте куба, то есть h = a.
5. Площадь боковой поверхности цилиндра S_b вычисляется по формуле:
S_b = 2 * pi * r * h.
6. Подставляем значения:
S_b = 2 * pi * ((a * sqrt(2)) / 2) * a = pi * a^2 * sqrt(2).
7. Площадь оснований цилиндра S_o:
S_o = 2 * (pi * r^2) = 2 * (pi * ((a * sqrt(2)) / 2)^2) = 2 * (pi * (a^2 * 2) / 4) = pi * a^2.
8. Полная площадь поверхности цилиндра S:
S = S_b + S_o = pi * a^2 * sqrt(2) + pi * a^2 = pi * a^2 * (sqrt(2) + 1).
Ответ: площадь полной поверхности цилиндра, описанного около куба, равна pi * a^2 * (sqrt(2) + 1).