Дано:
- Площадь полной поверхности цилиндра, описанного около куба, равна S.
Найти:
Площадь поверхности куба (S_k).
Решение:
1. Обозначим длину ребра куба как a. Тогда площадь поверхности куба:
S_k = 6 * a².
2. Цилиндр, описанный около куба, имеет высоту h, равную длине ребра куба (h = a), и диаметр D, равный длине диагонали основания куба.
3. Длина диагонали основания куба вычисляется по формуле:
D = a * √2.
4. Радиус R цилиндра:
R = D / 2 = (a * √2) / 2 = (√2 / 2) * a.
5. Площадь полной поверхности цилиндра состоит из боковой поверхности и площадей двух оснований:
S = 2 * π * R * h + 2 * π * R².
6. Подставляем значения R и h:
S = 2 * π * ((√2 / 2) * a) * a + 2 * π * ((√2 / 2) * a)².
7. Упрощаем выражение:
S = 2 * π * (√2 / 2) * a² + 2 * π * (2 / 4) * a²
= π * √2 * a² + (π / 2) * a²
= (π * √2 + π / 2) * a².
8. Теперь выразим a²:
a² = S / (π * √2 + π / 2).
9. Подставим это значение в формулу для площади поверхности куба:
S_k = 6 * a²
= 6 * (S / (π * √2 + π / 2))
= (6S) / (π(√2 + 1/2)).
Ответ:
Площадь поверхности куба равна (6S) / (π(√2 + 1/2)).