Дано:
- Диагональ осевого сечения цилиндра D = 12 см.
- Угол между диагональю и плоскостью основания α = 30°.
Найти: площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр.
Решение:
1. Для начала найдем высоту h цилиндра. Высота определяется через диагональ и угол:
h = D * sin(α).
2. Подставляем значения:
h = 12 * sin(30°) = 12 * 0.5 = 6 см.
3. Далее найдем радиус r основания цилиндра. Он равен половине длины проекции диагонали на основание:
r = D * cos(α) / 2.
4. Подставляем значения:
r = 12 * cos(30°) / 2 = 12 * (sqrt(3)/2) / 2 = 12 * sqrt(3) / 4 = 3 * sqrt(3) см.
5. Теперь найдем сторону основания правильной треугольной призмы. Сторона a равна диаметру основания цилиндра:
a = 2 * r = 2 * (3 * sqrt(3)) = 6 * sqrt(3) см.
6. Площадь боковой поверхности S_b правильной треугольной призмы вычисляется по формуле:
S_b = периметр основания * высота призмы.
7. Периметр P правильного треугольника с стороной a:
P = 3 * a = 3 * (6 * sqrt(3)) = 18 * sqrt(3) см.
8. Площадь боковой поверхности S_b:
S_b = P * h = (18 * sqrt(3)) * 6 = 108 * sqrt(3) см².
Ответ: площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, равна 108 * sqrt(3) см².