Дано:
- Высота цилиндра h = 6 см.
- Диагональ осевого сечения цилиндра D образует угол α = 60° с плоскостью основания.
Найти: площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной призмы, вписанной в цилиндр.
Решение:
1. Сначала найдем длину диагонали осевого сечения цилиндра. Она определяется через высоту и угол:
D = h / cos(α).
2. Подставляем значения:
D = 6 / cos(60°) = 6 / 0.5 = 12 см.
3. Теперь определим радиус r основания цилиндра. Радиус равен половине длины диагонали, проецируемой на основание:
r = D * sin(α) = 12 * sin(60°) = 12 * (sqrt(3)/2) = 6 * sqrt(3) см.
4. Основание правильной четырёхугольной призмы является квадратом со стороной a, которая равна диаметру основания цилиндра:
a = 2 * r = 2 * (6 * sqrt(3)) = 12 * sqrt(3) см.
5. Площадь боковой поверхности S_b правильной четырёхугольной призмы вычисляется по формуле:
S_b = периметр основания * высота призмы.
6. Периметр P квадрата с длиной стороны a:
P = 4 * a = 4 * (12 * sqrt(3)) = 48 * sqrt(3) см.
7. Площадь боковой поверхности S_b:
S_b = P * h = (48 * sqrt(3)) * 6 = 288 * sqrt(3) см².
Ответ: площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной призмы, вписанной в цилиндр, равна 288 * sqrt(3) см².