Дано:
Диагональ осевого сечения цилиндра D = 20 см.
Угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания α = 30°.
Найти: объем цилиндра.
Решение:
Осевое сечение цилиндра — прямоугольный треугольник, в котором одна из сторон — это высота цилиндра H, а другая сторона — это диаметр основания цилиндра d. Диагональ этого треугольника является гипотенузой и равна D.
Так как угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания равен 30°, можно использовать тригонометрию для нахождения высоты и диаметра цилиндра.
1. Для нахождения высоты H используем косинус угла α:
cos(30°) = H / D.
Из этого выражения:
H = D * cos(30°) = 20 * √3 / 2 = 10√3 см.
2. Для нахождения диаметра d используем синус угла α:
sin(30°) = d / D.
Из этого выражения:
d = D * sin(30°) = 20 * 1/2 = 10 см.
3. Радиус основания цилиндра r = d / 2 = 10 / 2 = 5 см.
Теперь можем найти объем цилиндра по формуле:
V = π * r² * H.
Подставим значения:
V = π * 5² * 10√3 = π * 25 * 10√3 = 250π√3 см³.
Ответ: объем цилиндра равен 250π√3 см³.