Дано:
- Правильная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1.
- Цилиндр, вписанный в призму, касающийся боковых граней АА1ВВ1 и ВВ1С1С по образующим ММ1 и КК1 соответственно.
- Диагональ осевого сечения цилиндра равна d.
- Наклон диагонали к плоскости основания равен α.
Найти: площадь четырёхугольника ММ1К1К.
Решение:
1. Определим высоту H цилиндра как H = d * cos(α), где d — длина диагонали осевого сечения цилиндра.
2. Обозначим радиус основания вписанного цилиндра как r. Для правильной призмы радиус R описанной окружности многоугольного основания равен r (радиус цилиндра).
3. Поскольку цилиндр касается боковых граней, точки M и K имеют координаты:
M = (r, 0, 0) и M1 = (r, 0, H),
K = (-r, 0, 0) и K1 = (-r, 0, H).
4. Четырёхугольник ММ1К1К состоит из двух прямоугольников, MM1K1K и KK1MM1.
5. Площадь четырёхугольника можно рассчитать как сумму площадей двух треугольников:
S_четырехугольника = S_MM1K1 + S_KK1M.
6. Поскольку MM1K1K — это параллелограмм, его площадь равна основанию умноженному на высоту. Основание = |MK| = |(-r) - r| = 2r, а высота = H.
7. Таким образом:
S_четырехугольника = основание * высота = 2r * H.
8. Подставляем значение H:
S_четырехугольника = 2r * (d * cos(α)) = 2rd * cos(α).
Ответ: площадь четырехугольника ММ1К1К равна 2rd * cos(α).