Дано:
1. Радиус шара (R), вписанного в правильную шестиугольную призму.
Найти:
Площадь полной поверхности призмы (S).
Решение:
1. В правильной шестиугольной призме основание представляет собой правильный шестиугольник. Радиус вписанной окружности (r) шестиугольника соотносится со стороной (a) по формуле:
r = (a * √3) / 2.
Поскольку радиус шара равен радиусу вписанной окружности, имеем:
R = (a * √3) / 2.
Отсюда можно выразить сторону a:
a = (2R) / √3.
2. Площадь основания S_основания правильного шестиугольника:
S_основания = (3√3 / 2) * a².
Подставим значение a:
S_основания = (3√3 / 2) * ((2R) / √3)² = (3√3 / 2) * (4R² / 3) = 2√3R².
3. Площадь боковых граней призмы:
Периметр основания (P) = 6a = 6 * (2R / √3) = 12R / √3.
4. Высоту призмы обозначим как h. Площадь боковых граней:
S_боковые = P * h = (12R / √3) * h.
5. Общая площадь полной поверхности призмы:
S = 2 * S_основания + S_боковые.
S = 2 * (2√3R²) + (12R / √3) * h.
S = 4√3R² + (12R / √3) * h.
Ответ:
Площадь полной поверхности правильной шестиугольной призмы равна 4√3R² + (12R / √3) * h.