Дано:
1. Максимальный угол между образующими конуса равен 90°.
2. Радиус вписанного шара (R).
Найти:
Площадь полной поверхности конуса (S_п).
Решение:
1. Площадь полной поверхности конуса состоит из площади основания и площади боковой поверхности:
S_п = S_основания + S_b.
2. Площадь основания (S_основания) конуса вычисляется по формуле:
S_основания = π * R².
3. Для нахождения площади боковой поверхности (S_b) используем формулу:
S_b = π * r * l,
где r — радиус основания конуса, l — образующая конуса.
4. В конусе с максимальным углом 90° образующая l равна высоте h. При этом радиус основания r и радиус вписанного шара R связаны следующим образом:
R = (r * h) / (r + h).
5. Так как угол между образующими равен 90°, можно считать, что h = r. Следовательно, в этом случае:
R = (r * r) / (r + r) = r / 2.
Отсюда:
r = 2R.
6. Теперь подставим значение r в формулу для площади боковой поверхности:
S_b = π * (2R) * (√(R² + (2R)²)).
7. Упрощаем:
l = √(R² + (2R)²) = √(R² + 4R²) = √(5R²) = R√5.
Следовательно:
S_b = π * (2R) * (R√5) = 2πR²√5.
8. Теперь подставим значения в формулу для полной площади поверхности:
S_п = S_основания + S_b = π * (2R)² + 2πR²√5 = 4πR² + 2πR²√5.
Ответ:
Площадь полной поверхности конуса равна (4 + 2√5)πR² см².